Структуры данных и модели вычислений
Частично-рекурсивные функции
Пытаясь выяснить содержание интуитивного понятия вычислимой функции, А.Черч в 1936 году рассмотрел класс так называемых рекурсивных функций, а Клини расширил его до класса частично-рекурсивных функций. В то же время впервые была высказана естественно-научная гипотеза о том, что интуитивное понятие вычислимой частичной функции совпадает с понятием частично рекурсивной функции. Эту гипотезу называют тезисом Черча. Здесь мы напомним понятие частично-рекурсивной функции и покажем, что любая частично-рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу. Набор аргументов
обозначим через .
Функция называется суперпозицией -местных функций , и -местной функции , если
Говорят, что -местная функция
получена примитивной рекурсией из -местной функции
и -местной функции , если
Говорят, что -местная функция
получена минимизацией из -местной функции , если
Часто обозначают через .
Заметим, что суперпозиция и примитивная рекурсия, примененные к всюду определенным функциям, дают всюду определенные функции, тогда как минимизация, примененная к всюду определенной функции, может дать частичную функцию.
Числовая функция называется частично рекурсивной, если она является одной из базисных функций:
а) (при всех ),
б) (при всех ),
в)
или получена из них с помощью конечного числа применений суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.
Теорема.
Любая частично-рекурсивная функция вычислима по Тьюрингу.
Доказательство теоремы заключено в следующих четырех леммах, с использованием унарного кодирования чисел.
Лемма 1 (о базисных функциях).
Базисные функции , , вычислимы по Тьюрингу.
Действительно, функцию вычисляет программа , функцию — программа , функцию — программа .
Лемма 2 (о суперпозиции).
Если функции и
вычислимы, соответственно, программами , и , то функцию
вычисляет программа:
Доказательство.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, достаточно выписать псевдослова, которые появляются на ленте после выполнения отдельных частей программы. Сначала на ленте находится псевдослово
